Dmitri Pavlov's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
[Friends]
Below are the 20 most recent journal entries recorded in
Dmitri Pavlov's LiveJournal:
[ << Previous 20 ]
| Friday, June 26th, 2009 | | 10:01 pm |
Гомотопическая теория графов
Удивительное рядом. Bisson и Tserno опубликовали статью, в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов. Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. В частности, эта категория образует топос. Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно порождённую модельную структуру. Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер. Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких деревьев, растущих от корня. Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов. В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков — вершин, из которых не выходят рёбра. Кофибрантный граф — это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня. Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф. У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов, у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория дискретных графов: у каждой вершины есть петля. Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов, которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию. А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов. | | Monday, June 22nd, 2009 | | 7:07 pm |
Русская терминология
При проведении семинаров на русском языке (чем я занимаюсь каждый год в зимние и летние каникулы) постоянно возникает необходимость в переводе английских терминов. В четверг участниками семинара был составлен следующий словарик: pullback — оттяг; pushforward — толчок; cup product — чашечное произведение; cap product — кепочное производение (в просторечии — шапочное произведение). Если у кого есть собственные переводы этих или других терминов — оставьте комментарий. | | Saturday, January 24th, 2009 | | 5:00 pm |
Изложение математики
Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно концептуализировать и упростить а ля Гротендик изложение некоторых хорошо известных разделов математики. Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр. Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться на языке модулярных алгебр Ямагами. Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии, позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры, а также алгебр Клиффорда и Вейля. Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов. Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий. Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки. Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки. (Надо сказать, что теории схем сказочно повезло — для схем координаты невозможно использовать в принципе.) Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств. Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены. Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения. Где бы теперь взять книги, излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?… Добавление: То, что некоторые области должны излагаться по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то подумали именно это. Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям, многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики. Это не так, я не предлагаю никаких программ. Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики. Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники, использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их существовании и давали ссылки на литературу. | | 4:40 pm |
Гипотеза о кобордизмах
Jacob Lurie недавно опубликовал статью с доказательством гипотезы о кобордизмах Баеза-Долана, которая, грубо говоря, утверждает, что n-категория кобордизмов является свободной n-категорией на одном объекте (в соответствующем смысле — подробности в статье). У него же, если кто не знает, лежит замечательный обзор по топологическим модулярным формам. | | Sunday, December 7th, 2008 | | 2:33 pm |
| | Sunday, October 26th, 2008 | | 5:01 pm |
Русский Plain TeX
Вот уже более восьми лет я использую исключительно TeX для набора чего-то более сложного, чем текстовый файл. Поскольку LaTeX мне освоить не удалось ввиду его колоссальной сложности, пришлось остановиться на Plain TeX. А поскольку приличной русификации в то время не было и нет до сих пор, мне пришлось сделать свою, которую и использую уже много лет. Сегодня я решил выложить её на всеобщее обозрение: http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/Замечания, вопросы и комментарии приветствуются. | | Thursday, October 23rd, 2008 | | 9:28 pm |
| | Thursday, August 7th, 2008 | | 12:25 am |
| | Friday, April 11th, 2008 | | 9:04 pm |
Community service
Если кому-нибудь нужны книги по математике (а также по физике и программированию), то я могу купить их здесь и привезти в Петербург. Я могу покупать книги в трёх местных магазинах, а также в сетевых. (Конечно, сетевыми магазинами можно пользоваться и в России, однако доставка в Россию очень дорогая, идёт очень долго (2 месяца), могут возникнуть проблемы с таможней, и кроме того, не у всех есть подходящие платёжные средства.) По этим ссылкам можно проверить, есть ли какая-нибудь книга в местных магазинах: http://nedsbooks.com/ucb/http://www.moesbooks.com/moes/search.htmlhttp://ucberkeley.bkstr.com/Для сетевых магазинов есть неплохая поисковая система: http://www.bookfinder.com/ | | Thursday, April 3rd, 2008 | | 6:55 pm |
Больше всего в математике я ненавижу…
По мотивам известной страницы. В обозначенияхΔx и δx d/dx и ∂/∂x когда используют выражение «функция f(x)», имея ввиду «функция f» когда путают расслоение и его тотальное пространство вертикальную нотацию для дробей нотацию для возведения в степень нотации для интеграла и суммы обозначение производной штрихом нотацию f(x) когда композицию морфизмов пишут справа налево (особо ненавижу) смешанную нотацию для дробей вида a b/c, обозначающую a+b/c В терминологиинеопределяемые понятия утверждения, принимаемые без доказательства аксиомы В теории множестваксиоматику Цермело-Френкеля В линейной алгебрекоординаты матрицы когда рассказывают внешнюю алгебру без геометрического смысла отдельной строкой я ненавижу аксиоматику Эвклида-Гильберта В топологииязык ε-δ В меремеру Жордана и интеграл Римана изложение меры по Каратеодори В многообразияхкоординаты (лютой ненавистью) карты и атласы производную как число или набор чисел дивергенцию, градиент и ротор В образованиишкольную математику олимпиадную математику (против самих олимпиад ничего не имею) вступительную математику высшую математику прикладную математику (то, что сейчас понимают под этим термином) В изложениикогда проводят длинное рассуждение и не говорят заранее, что при этом доказывается Список неполный, постоянно пополняется. | | Wednesday, January 23rd, 2008 | | 9:58 am |
Филдсовская медаль Арнольда
Из статьи В. А. Успенского в журнале «Новый мир» за декабрь 2007 года: Проблемы и даже скандалы, сопровождавшие процедуры присуждения и вручения филдсовских медалей, возникали и раньше. Так, по причине Мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений в промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936 году в Осло прошёл последний предвоенный Международный конгресс математиков, а в 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе, — первый послевоенный). Все последующие причины были порождены советскими властями. Например, конгресс в Варшаве, намеченный на 1982 год, был перенесён на август 1983 года из-за объявленного в Польше военного положения. В 1966 году французский математик Александр Гротендик, один из крупнейших математиков XX века, в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов; вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов и всех чохом пригласил на сцену для получения медалей; кто есть ху, понять из зала было невозможно. В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись, соответственно, в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить свои медали два математика из СССР: в Ницце — Сергей Петрович Новиков (родился в 1938 году; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки — Григорий Александрович Маргулис (родился в 1946 году). Их поездки были признаны, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразными», а сами они не были выпущены за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (едва ли не единственном издании, откликнувшемся на присуждение ему высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «и… [даже] докторская диссертация на подходе». Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 году. Далее — изложение рассказа самого Арнольда; надеюсь, что помню его правильно. Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Окончательное решение должен был принять высший орган Международного математического союза — его исполнительный комитет. В 1971–1974 годах вице-президентом Исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне своей поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и на беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждение тому филдсовской медали. В случае, если исполком с этим не согласится и всё же присудит Арнольду медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации в Ванкувер на очередной Международный конгресс математиков, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал ему о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые ему Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним — интересна, а обед — хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только филдсовскую медаль Арнольд тогда не получил — и было выдано две медали вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 году Арнольд исчерпал возрастной лимит. В 1995 году Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 году на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда. Осталось выяснить, кто отдал Понтрягину приказ не давать Арнольду медаль. Вообще, очень странно, что филдсовский комитет не присуждает медали единолично. Зачем нужна эта бюрократическая процедура утверждения? | | Monday, January 14th, 2008 | | 4:28 am |
Мир в ореховой скорлупке
Я недавно писал про модулярное пространство стабильных карт в Википедии. А теперь обнаружился не менее интересный случай перевода, но уже в бумажной книге: название книги «The Universe in a Nutshell» (автор — Stephen Hawking) перевели как « Мир в ореховой скорлупке». По ссылке от ![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif) kobak. Он утверждает, что издательство «Амфора», выпустившее эту книгу, вроде бы является солидным. Модулярного пространства стабильных карт в Википедии уже нет, а эта книга так и останется свидетельством квалификации переводчиков этого издательства. Добавление: из разговора с переводчикомвыяснилось, что такой перевод названия вызван содержанием третей главы, в которой этот фразеологизм используется в буквальном смысле. Как указал burcha, наиболее адекватным переводом было бы «Вселенная?.. Это очень просто!», содержащее отсылку к советской научно-популярной серии. | | Thursday, December 13th, 2007 | | 6:09 pm |
Community service
Сегодня я ходил по книжным магазинам и смотрел книги по математике. Возможно, кому-то в Петербурге хочется купить какую-нибудь книгу по математике на английском языке. Я могу купить её здесь и привезти в Петербург. Для облегчения задачи я привожу список увиденных мною книг, которые могут оказаться кому-то интересными. Помните, что из-за налога все цены в списке умножаются на 1.0875. Если книги нет в списке, это не значит, что её нет в магазине. Достаточно просто сказать мне её название и предельную цену в долларах, которую вы согласны за неё заплатить. Если я увижу её, то куплю и привезу в Петербург. Сначала — книга, полезная для программистов: $25: Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L. Introduction to algorithms. The MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. MIT Press, Cambridge, MA; McGraw-Hill Book Co., New York, 1990. xx+1028 pp. И вообще, если кому-то нужны программистские книги, заказывайте, тут они наверняка есть. А теперь остальные книги: $50: Eisenbud, David Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. $40: Serre, Jean-Pierre Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. x+170 pp. $42: Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983. ix+272 pp. $52/70: Hartshorne, Robin Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. xvi+496 pp. $25/34: Hatcher, Allen Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. $50/65: Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. $55: Ramanan, S. Global calculus. Graduate Studies in Mathematics, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. xii+316 pp. $85: Frenkel, Edward Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007. xvi+379 pp. $50: Dodson, C. T. J.; Poston, T. Tensor geometry. The geometric viewpoint and its uses. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 130. Springer-Verlag, Berlin, 1991. xiv+432 pp. $32: de Cataldo, Mark Andrea The Hodge theory of projective manifolds. Imperial College Press, London, 2007. xii+102 pp. $35: Halmos, Paul R. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950. xi+304 pp. $46: Hirsch, Morris W. Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, No. 33. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. x+221 pp. $29: Morrow, James; Kodaira, Kunihiko Complex manifolds. Reprint of the 1971 edition with errata. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. x+194 pp. $26: Kobayashi, Shoshichi Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings. An introduction. Second edition. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005. xii+148 pp. $20: Hörmander, Lars Linear partial differential operators. Springer Verlag, Berlin-New York, 1976. vii+285 pp. $40: Jacquet, H.; Langlands, R. P. Automorphic forms on ${\rm GL}(2)$. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970. vii+548 pp. $42: Majid, Shahn Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. x+607 pp. $40: Aubin, Thierry Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252. Springer-Verlag, New York, 1982. xii+204 pp. $48: Varadarajan, V. S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Prentice-Hall Series in Modern Analysis. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974. xiii+430 pp. $50: van der Waerden, B. L. Algebra. Vol 1. Translated by Fred Blum and John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xiv+265 pp. Vol. 2. Translated by John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xii+284 pp. $30: Weil, André Basic number theory. Third edition. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 144. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. xviii+325 pp. $25: Zariski, Oscar; Samuel, Pierre Commutative algebra. Vol. 1. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975. xi+329 pp. $16: Jacobson, Nathan Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ix+331 pp. $60: Jost, Jürgen Riemannian geometry and geometric analysis. Fourth edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xiv+566. $60: Petersen, Peter Riemannian geometry. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006. xvi+401 pp. $29: Mashaal, Maurice Bourbaki. A secret society of mathematicians. Translated from the 2002 French original by Anna Pierrehumbert. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. ii+168 pp. $70: Lazarsfeld, Robert Positivity in algebraic geometry. I. Classical setting: line bundles and linear series. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 48. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+387 pp. II. Positivity for vector bundles, and multiplier ideals. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 49. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+385 pp. $35: Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Vol. 1. With a foreword by Gian-Carlo Rota. Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 49. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. xii+325 pp. $35: Ahlfors, Lars V. Lectures on quasiconformal mappings. Second edition. With supplemental chapters by C. J. Earle, I. Kra, M. Shishikura and J. H. Hubbard. University Lecture Series, 38. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. viii+162 pp. $29: Adams, Colin C. The knot book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. xiv+307 pp. $40: Francis, George K. A topological picturebook. Reprint of the 1987 original. Springer, New York, 2007. xvi+194 pp. $30: Goldblatt, Robert Topoi. The categorial analysis of logic. Second edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 98. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. xvi+551 pp. | | Tuesday, December 4th, 2007 | | 1:20 am |
Теперь в двух местах
Поскольку наблюдается большая миграция из LiveJournal в GreatestJournal, зарегистрировался также и там. Встречайте: http://dmitri-pavlov.greatestjournal.com/Жалко только, что комментарии туда так просто не импортируешь — надо возиться с программой. Или есть другие способы? Кто-нибудь знает, кто контролирует GreatestJournal? Мне не удалось найти никакой информации об этом. | | Sunday, December 2nd, 2007 | | 9:58 pm |
Пора уходить
Пророчество сбылось. Поскольку только lj.rossia.org обладает достаточно большим количеством интересных мне пользователей, ухожу туда. Поскольку их сервера скоро покинут Россию, это обоснованно. Встречайте: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/. После отправки этого поста буду импортировать свой журнал туда. Некоторое время (быть может, достаточно большое) буду сохранять своё присутствие в LiveJournal, до тех пор, пока он будет представлять для меня интерес. (Я полагаю, что скоро здесь будет очередной li.ru и интерес мой скоро исчезнет.) Комментарии можно будет оставлять как здесь, так и там. Периодически все новые комментарии здесь будут импортироваться туда. Через некоторое время все посты будут стёрты. Мне интересно узнать мнение своих друзей: собираетесь ли вы оставаться здесь, удаляться или переезжать, и если переезжать, то куда и когда? | | Saturday, November 24th, 2007 | | 5:29 am |
Википарламент
Я совсем не хотел писать про политику, но ввиду того, что этот вопрос постоянно всплывает в дискуссиях, я формулирую свои мысли здесь. Программа-минимум.Все документы, имеющие какое-либо отношение к государственным структурам (написанные чиновниками, написанные по заказу чиновников, заявления, переданные чиновникам, и так далее) в обязательном порядке выкладываются в сеть на специальный сайт. Документы, не выложенные в сеть, автоматически признаются недействительными и не имеющими юридической силы. Действия, совершённые на основе таких документов, автоматически считаются незаконными. На каждом бумажном документе должен быть указан его сетевой адрес. Исключение делается для узкого круга документов, раскрытие которых крайне нежелательно (детали технологического процесса изготовления термоядерной боеголовки, например). Реализовать программу можно следующим образом. Подавляющее большинство нынешних чиновников пользуется компьютером как средством связи (почта и другие виды связи) и как средством подготовки документов. Соответственно, программой редактирования документов для чиновников должен стать всё тот же сайт, на котором установлена программа, похожая на Google Docs. Локальные программы редактирования документов на компьютеры чиновников ставить не следует. Все финансовые транзакции, имеющие какое-либо отношение к государственным структурам (проводимые чиновниками, проводимые по заказу чиновников, деньги, перечисляемые на счета государственных организаций, и так далее) в обязательном порядке отражаются в сети на том же сайте. Финансовые транзакции, не отражённые в сети, автоматически признаются недействительными и не имеющими юридической силы. Деньги, переведённые такими транзакциями, подлежат возврату. Исключение делается для узкого круга объектов, раскрытие деталей финансирования которых нежелательно (финансирование государственного завода, на котором производятся термоядерные боеголовки, например). Финансирование таких объектов осуществляется по принципу чёрного ящика: в сети отражено, сколько денег ушло в эти объекты, но не отражено как именно они там распределились. Реализация программы не представляет технической трудности, если учесть, что все транзакции и так являются электронными. Остаётся только внести небольшие изменения в программное обеспечение. Транзакции и юридические документы, их обосновывающие, должны иметь двусторонние ссылки друг на друга. Наконец, всё программное обеспечение, с этим связанное, должно быть свободно распространяемым и с открытыми исходными текстами. Программа-максимум.Президент, администрация президента, государственная дума, совет федерации, конституционный суд, правительство, все министерства, все федеральные агенства и федеральные службы, госкомитеты, законодательные собрания, а также другие органы исполнительной и законодательной власти упраздняются, а их полномочия передаются специальной структуре — википарламенту. Множество участников википарламента по определению совпадает с множеством граждан страны. Википарламент имеет специальный сайт, на котором происходят дискуссии, создаются документы и происходят голосования по всем выработанным документам. В процессе расформирования органов исполнительной и законодательной власти останется некоторое множество людей, не занятых бумажной работой, а совершающих физические действия (например, пожарники). Все эти люди переподчиняются википарламенту. Армия, МВД, ФСБ и другие силовые структуры прекращают своё существование как единое целое, отдельные структурные единицы переподчиняются википарламенту. Уже в такой форме википарламент будет значительно эффективнее традиционной представительской демократии. Что-то похожее имеется в Швейцарии, где любой значимый вопрос решается населением на референдуме, моё предложение отличается более широким использованием технических средств. Следующий параграф является спорным. Хочу подчеркнуть, что на его выполнении я не настаиваю. Есть опасность, что такой википарламент будет склонен к популизму. Можно присвоить голосу каждого гражданина вес, который тем выше, чем большую способность к самостоятельному анализу и логическому мышлению демонстрирует гражданин. В качестве объективного средства измерения таких способностей можно взять экзамены по естественным наукам. Чем большие знания и умения в математике, физике, биологии и других естественных науках демонстрирует гражданин, тем больший вес имеет его голос. Естественно, процедура экзаменов полностью прозрачная и контролируется википарламентом. Впрочем, на точном исполнении директив последнего параграфа я не настаиваю, этот вопрос обсуждаем. | | Thursday, November 15th, 2007 | | 8:40 am |
Из русской Википедии
Концевич дал математически строгую формулировку интегралов Фейнмана для топологической теории струн через введённое им понятие модулярного пространства стабильных карт. | | Sunday, August 26th, 2007 | | 4:58 pm |
| | Tuesday, August 7th, 2007 | | 9:59 pm |
Синтаксическая математика
Школьный курс математики содержит в себе множество синтаксических процедур. На самом деле, при внимательном рассмотрении получается, что он только из них и состоит. Достаточно приглядеться к содержанию материала различных годов обучения. В первом классе изучаются натуральные числа и четыре арифметических действия над ними. При этом все четыре алгоритма изучаются в чисто синтаксическом варианте, без всяких пояснений и доказательств. По-видимому, большинство выпускников школы в состоянии строго изложить алгоритмы сложения, вычитания и умножения. Но многие ли из них смогут доказать, что в результате получается именно то, что надо? Могу лишь предположить, что таких меньше половины. Что касается деления, то его, по-видимому, не смогут внятно изложить почти все выпускники. Основная идея, конечно тривиальна: определять ответ по цифрам. Но при этом возникает такая подзадача: найти целую часть частного (n+1)-значного числа и n-значного числа, в предположении, что ответ меньше основания системы счисления. И с описанием того, как искать эту цифру, возникают проблемы. Challenge: А кто-нибудь из вас может с ходу дать строгое изложение алгоритма решения этой подзадачи, не допускающее неоднозначных толкований, и при этом адекватное практике, пусть даже и без доказательства? Не пользуясь при этом литературой, конечно. Если кто и сможет, то уж школьники почти наверняка не смогут. Тем более они не смогут доказать правильность алгоритма. Получается, что действительно, мы имеем чисто синтаксическую процедуру, выполняемую без всякого понимания. Много ли толку от таких процедур, в особенности теперь, когда у нас есть калькулятор? В следующих классах изучаются так называемые текстовые задачи. Здесь можно подумать, что разнообразие таких задач должно разрушить моё предположение. Однако беглый анализ показывает, что на самом деле изучается строго ограниченное количество типов задач, почти все из которых укладываются в несколько шаблонов. (Помнится, как-то при решении одной из таких задач я написал 4×5, а учительница, которая это проверяла, исправила это на 5×4. Тогда я был в большом недоумении. А теперь пониманию, что от меня подразумевалось следование некоему шаблону. И это — в знаменитой тридцатке!) Было бы интересно, если кто-то просмотрит учебники 2–3 класса и прояснит этот вопрос. Перейдём к 5–7 классам, которые я вспоминаю с не меньшей тоской, чем 1–3 классы. (Особенно смешно было, когда в 1 классе нас учили рисовать цифры, а я к тому времени понимал логарифмы.) Наша учительница (уже другая, но всё в той же тридцатке) заставляла нас разучивать наизусть «сигналы» — специальным образом расположенные наборы предложений и формул (расположение тоже надо было наизусть учить). Разучивать предлагалось всё те же синтаксические правила — как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, как перемножать отрицательные числа, и так далее. В 8 классе у нас снова сменилась учительница. В алгебре дела стали обстоять чуть получше, а вот геометрия по-прежнему оставалась набором синтаксических процедур. Помнится, в первой четверти я получил двойку по геометрии (единственная моя двойка по всем естественным наукам и математике), за то, что не смог доказать, что средняя линия в треугольнике составляет половину от стороны. Мне это утверждение казалось совершенно тривиальным, но его надо было выводить из большого списка (около 20) аксиом, которых я никогда не мог запомнить. (Изучив линейную алгебру, я понял, что был совершенно прав.) Последние три года я провёл в 239 школе, и они были не сильно лучше. Конечно, некий разумный элемент присутствовал, но синтаксическая часть была доминирующей. Все эти бесконечные уравнения и неравенства с квадратными корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями, которые решались с применением ограниченного набора действий. Тригонометрические преобразования были особенно тоскливыми. Вместо всей тригонометрии следовало сообщить два определения синуса и косинуса через экспоненту и перейти к изучению оной. Позднее — производные и интегралы, и опять таки, упор делался на вычислительный аспект, сводившийся к стандартному набору правил. (Надо отдать должное, в 9 классе этот же учитель читал спецкурс по теории чисел а ля книжка Виноградова, вполне содержательно, никаких синтаксических процедур. По-видимому, основные уроки он так читал под давлением обстоятельств.) Всё познаётся в сравнении. Наши уроки физики в 239, которые вёл Виктор Максимович Терехов, резко контрастировали с такой синтаксической практикой, в них не было и намёка на такие вещи. Русский язык у нас, похоже, целиком преподают на синтаксическом уровне. Что интересно, я никогда не учил никаких правил. С ужасом вспоминаю «жи-ши», «брить-стелить» и сложносочинённые предложения. По-видимому, более-менее грамотно писать я мог из-за того, что когда-то прочитал большое количество художественных книг, что позволило мне приобрести минимальную грамотность, не заучивая правила. Вообще, мне было неинтересно на синтаксических предметах (русский язык, литература (чтение), информатика (я на неё не ходил, так у нас называлось изучение программ Microsoft, а также разных языков программирования, в том числе и для дивных компьютеров «Ямаха» с зелёными мониторами), обществоведение (это у нас философия так называлась), ОБЖ (то есть начальная военная подготовка), физкультура и танцы), и интересно на остальных. Некоторые предметы имели как синтаксических преподавателей, так и содержательных. Особенно ярко это было выражано с историей и химией. Мне интересно услышать мнение других людей по поводу их предметов в школе. Вступительные экзамены с их неповторимым классом задач про всё те же уравнения, неравенства и тождества, к счастью, обошли меня стороной. Я даже не буду говорить про студенческие лекции по анализу, аналитической геометрии, диффурам, теории вероятностей и прочей вычислительной ерунде, которые я благополучно игнорировал, и появлялся на них только на экзамене. До меня доходили страшные слухи: на матанализе требовали вычислить 50 (!) интегралов и производных. Ужас какой-то. Я бы столько поленился даже в компьютер вбивать (именно так я бы делал такие задания). Самое главное, непонятно, зачем всё это. Всевозможные инженеры и научные работники либо воспользуются программой символьных вычислений (а для элементарных функций есть общий универсальный алгоритм интегрирования, который является следствием развития дифференциальной алгебры), либо (что скорее) будут интегрировать численно. Венцом всего этого стало событие, произошедшее больше года назад. По просьбе своей кафедры я участвовал в олимпиаде Санкт-Петербурга по математике для технических вузов. Задачи на той олимпиаде были довольно техническими (простите за каламбур), судя по всему, ориентированными на те же синтаксические преобразования. В одной из задач требовалось решить диффур. Я никогда не умел решать диффуры, кроме как методом подстановки-проверки. Подставил две или три простейших функции, вижу — получил ответ, так и пишу в решении: проверим что данная функция удовлетворяет уравнению, проверим, что выполнены условия теоремы существования и единственности. Вполне строгое решение, даже самому строгому проверяющему не к чему придраться. На апелляции вижу, что за эту задачу у меня стоит далеко не полный балл. Беру свою работу, но в ней по этому поводу ничего не отмечено. Вдруг какой-то человек (позднее оказалось, что это был заведующий кафедрой математики ВИТУ) спрашивает меня: что я собираюсь апеллировать? Я отвечаю. Он начинает со мной спорить, что то, что я написал — это не решение, а решением должен быть некий набор действий, показывающий, как это решение получилось (полученный, очевидно, при помощи синтаксической процедуры). В конце концов, ему предложили пример: есть поле, на котором закопан клад, который надо найти. Один человек перекопал всё поле и нашёл клад, а другой просто угадал, где надо копать, и сразу выкопал клад. Кто из них решил задачу (нашёл клад)? Заведующий кафедрой математики сказал, что только тот, кто перекопал всё поле. Но это, конечно, было не самым интересным. Через некоторое время у меня началась собственно апелляция, которую проводил председатель жюри профессор
матмеха Н. А. Широков, который отбирал задачи. После некоторого спора он в конце концов выдал мне следующую фразу (воспроизвожу не дословно, но близко к оригиналу и без потери смысла): «Возьмите любой учебник дифференциальных уравнений, там есть набор стандартных подстановок, их-то и надо использовать при решении таких задач. При решении диффуров вы должны продемонстрировать ваше владение этим набором стандартных подстановок, а не умение решать задачи.». Это был для меня сильнейший деморализующий удар, я так и не нашёлся, что можно на это возразить, так и ушёл с неполным баллом (хотя выиграл олимпиаду). А вот другой человек получил полный балл, применив пару подстановок, даже не соизволив пояснить, почему его решение единственно (что было сделано у меня). Математика делится на содержательную и синтаксическую. Представителями синтаксической математики являются подавляющее большинство учителей школ, всевозможные репетиторы, заведующий кафедрой математики ВИТУ, а также профессор матмеха Н. А. Широков (он, кстати, там заведует кафедрой матанализа). Содержательную математику пока ещё можно изучать в физматклубеи на тех спецкурсах матмеха, которые проходят в ПОМИ (почему-то именно они оказываются наиболее содержательными (простите за каламбур) из всех спецкурсов). Не путайте содержательную математику с синтаксической! На этом позвольте мне завершить мой немного затянувшийся пост. Кстати, вы не забыли про challenge? Обновление: В качестве ответа на один из комментариев формулирую своё мнение относительно преподавания математики в начальной школе. Я думаю, что в начальной школе не надо учить действиям в столбик, а даже если и надо, то далеко не сразу. Сначала надо разъяснить концепцию натурального числа (можно иллюстрировать её на примере набора яблок). После этого объяснить смысл таких операций, как сложение и умножение (например, два ряда яблок выстроили вместе — это сложение, выстроили прямоугольник из яблок — это умножение). При этом должны объясняться, и, в некотором смысле, доказываться простейшие свойства этих действий (сложение коммутативно — переставили два ряда яблок, умножение ассоциативно — вертим параллелепипед из яблок, и так далее). Дальше можно изучать либо целые числа, либо более сложные действия над натуральными, вроде деления с остатком. Опять же, в наглядной интерпретации — целые числа как кредит и долг, деление с остатком как расположение яблок в ряды, и так далее. Всем свойствам, которые используются, обязательно должны даваться наглядные доказательства. Ученики тоже должны решать несложные задачи теоретического плана вместе с доказательствами такого рода. И, несомненно, весь этот материал можно иллюстрировать на числовых примерах, вроде 2+5=7, 3*3=9, 8/3=2+2/3. Дальше можно изучать свойства остатка от деления, опять же, с наглядными доказательствами. После чего можно рассказать о позиционной системе счисления, вместе с доказательствами, при этом следует попытаться сделать так, чтобы ученики сами придумали алгоритм сложения в столбик и доказали его правильность. Дроби опять же можно иллюстрировать на яблоках (отрицательные доли — как яблоки которые берут в кредит и дают в долг). При этом разумно сделать так, чтобы школьники сами вывели правило сложения дробей. Так можно изучать натуральные, целые и рациональные числа, что и составляет сегодня курс начальной школы по математике. При этом буквенные обозначения, на мой взгляд, следует вводить в самом начале. Обосновать это очень легко: при записи задач у нас часто повторяются словосочетания, обозначающие количество яблок у разных людей. Мы начинаем сокращать эти словосочетания и в конце концов сокращаем их до одной буквы. Вот и всё. | | Sunday, July 22nd, 2007 | | 4:09 pm |
|
[ << Previous 20 ]
|
![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/syndicated.gif){kind=small}
