Изложение математики
Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно
концептуализировать и упростить а ля Гротендик
изложение некоторых хорошо известных разделов математики.

Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке
коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.
Частное: L^p-пространства должны формулироваться и излагаться
на языке модулярных алгебр Ямагами.

Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания
координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии,
позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры,
а также алгебр Клиффорда и Вейля.

Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке
вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов.
Возможно также использование языка пучков,
хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий.
Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии,
в частности должно даваться концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек,
вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия
группы диффеоморфизмов суперточки.

Тоже самое для комплексных многообразий — только
здесь уже надо использовать пучки.

(Надо сказать, что теории схем сказочно повезло —
для схем координаты невозможно использовать в принципе.)

Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, одновременно для
топологических пространств и симплициальных множеств.

Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, без упоминания резольвент,
кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены.

Операды должны формулироваться и излагаться на языке
свёртки Дея и подстановочного произведения.

Где бы теперь взять книги,
излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?…

Добавление: То, что некоторые области должны излагаться
по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей
интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то
подумали именно это.

Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям,
многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики.
Это не так, я не предлагаю никаких программ.
Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики.
Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
существовании и давали ссылки на литературу.

( Comments |Comment on this)