Синтаксическая математика
Школьный курс математики содержит в себе множество синтаксических процедур.
На самом деле, при внимательном рассмотрении получается, что он только из них и состоит.

Достаточно приглядеться к содержанию материала различных годов обучения.

В первом классе изучаются натуральные числа и четыре арифметических действия над ними.
При этом все четыре алгоритма изучаются в чисто синтаксическом варианте, без всяких пояснений и доказательств.

По-видимому, большинство выпускников школы в состоянии строго изложить алгоритмы сложения, вычитания и умножения.
Но многие ли из них смогут доказать, что в результате получается именно то, что надо?
Могу лишь предположить, что таких меньше половины.

Что касается деления, то его, по-видимому, не смогут внятно изложить почти все выпускники.
Основная идея, конечно тривиальна: определять ответ по цифрам. Но при этом возникает такая
подзадача: найти целую часть частного (n+1)-значного числа и n-значного числа, в предположении,
что ответ меньше основания системы счисления. И с описанием того, как искать эту цифру, возникают
проблемы.

Challenge: А кто-нибудь из вас может с ходу дать строгое изложение алгоритма
решения этой подзадачи, не допускающее неоднозначных толкований, и при этом адекватное практике,
пусть даже и без доказательства? Не пользуясь при этом литературой, конечно.

Если кто и сможет, то уж школьники почти наверняка не смогут. Тем более они не смогут доказать правильность алгоритма.
Получается, что действительно, мы имеем чисто синтаксическую процедуру, выполняемую без всякого понимания.
Много ли толку от таких процедур, в особенности теперь, когда у нас есть калькулятор?

В следующих классах изучаются так называемые текстовые задачи.
Здесь можно подумать, что разнообразие таких задач должно разрушить моё предположение.
Однако беглый анализ показывает, что на самом деле изучается строго ограниченное количество
типов задач, почти все из которых укладываются в несколько шаблонов.
(Помнится, как-то при решении одной из таких задач я написал 4×5, а учительница,
которая это проверяла, исправила это на 5×4. Тогда я был в большом недоумении.
А теперь пониманию, что от меня подразумевалось следование некоему шаблону. И это — в знаменитой тридцатке!)

Было бы интересно, если кто-то просмотрит учебники 2–3 класса и прояснит этот вопрос.

Перейдём к 5–7 классам, которые я вспоминаю с не меньшей тоской, чем 1–3 классы.
(Особенно смешно было, когда в 1 классе нас учили рисовать цифры, а я к тому времени понимал логарифмы.)

Наша учительница (уже другая, но всё в той же тридцатке) заставляла нас разучивать наизусть «сигналы» — специальным образом
расположенные наборы предложений и формул (расположение тоже надо было наизусть учить).
Разучивать предлагалось всё те же синтаксические правила — как переносить слагаемые
из одной части уравнения в другую, как перемножать отрицательные числа, и так далее.

В 8 классе у нас снова сменилась учительница. В алгебре дела стали обстоять чуть получше,
а вот геометрия по-прежнему оставалась набором синтаксических процедур.
Помнится, в первой четверти я получил двойку по геометрии (единственная моя двойка по всем естественным наукам и математике),
за то, что не смог доказать, что средняя линия в треугольнике составляет половину от стороны.
Мне это утверждение казалось совершенно тривиальным, но его надо было выводить из большого
списка (около 20) аксиом, которых я никогда не мог запомнить. (Изучив линейную алгебру,
я понял, что был совершенно прав.)

Последние три года я провёл в 239 школе, и они были не сильно лучше. Конечно, некий разумный элемент
присутствовал, но синтаксическая часть была доминирующей.
Все эти бесконечные уравнения и неравенства с квадратными корнями, логарифмами и тригонометрическими
функциями, которые решались с применением ограниченного набора действий.
Тригонометрические преобразования были особенно тоскливыми. Вместо всей тригонометрии
следовало сообщить два определения синуса и косинуса через экспоненту и перейти к изучению оной.
Позднее — производные и интегралы, и опять таки, упор делался на вычислительный аспект, сводившийся
к стандартному набору правил.
(Надо отдать должное, в 9 классе этот же учитель читал спецкурс по теории чисел а ля книжка
Виноградова, вполне содержательно, никаких синтаксических процедур. По-видимому, основные
уроки он так читал под давлением обстоятельств.)

Всё познаётся в сравнении. Наши уроки физики в 239, которые вёл Виктор Максимович Терехов,
резко контрастировали с такой синтаксической практикой, в них не было и намёка на такие вещи.
Русский язык у нас, похоже, целиком преподают на синтаксическом уровне.
Что интересно, я никогда не учил никаких правил. С ужасом вспоминаю «жи-ши»,
«брить-стелить» и сложносочинённые предложения.
По-видимому, более-менее грамотно писать я мог из-за того, что когда-то прочитал большое количество
художественных книг, что позволило мне приобрести минимальную грамотность, не заучивая правила.
Вообще, мне было неинтересно на синтаксических предметах (русский язык, литература (чтение), информатика
(я на неё не ходил, так у нас называлось изучение программ Microsoft, а также разных
языков программирования, в том числе и для дивных компьютеров «Ямаха»
с зелёными мониторами), обществоведение (это у нас философия так называлась),
ОБЖ (то есть начальная военная подготовка), физкультура и танцы), и интересно на остальных.
Некоторые предметы имели как синтаксических преподавателей, так и содержательных.
Особенно ярко это было выражано с историей и химией.
Мне интересно услышать мнение других людей по поводу их предметов в школе.

Вступительные экзамены с их неповторимым классом задач про всё те же уравнения, неравенства и тождества,
к счастью, обошли меня стороной.
Я даже не буду говорить про студенческие лекции по анализу, аналитической геометрии,
диффурам, теории вероятностей и прочей вычислительной ерунде, которые я благополучно игнорировал,
и появлялся на них только на экзамене.
До меня доходили страшные слухи: на матанализе требовали вычислить 50 (!) интегралов и производных.
Ужас какой-то. Я бы столько поленился даже в компьютер вбивать (именно так я бы делал такие задания).

Самое главное, непонятно, зачем всё это. Всевозможные инженеры и научные работники либо
воспользуются программой символьных вычислений (а для элементарных функций есть общий
универсальный алгоритм интегрирования, который является следствием развития
дифференциальной алгебры), либо (что скорее) будут интегрировать численно.

Венцом всего этого стало событие, произошедшее больше года назад. По просьбе своей кафедры
я участвовал в олимпиаде Санкт-Петербурга по математике для технических вузов.
Задачи на той олимпиаде были довольно техническими (простите за каламбур),
судя по всему, ориентированными на те же синтаксические преобразования.

В одной из задач требовалось решить диффур. Я никогда не умел решать диффуры, кроме как
методом подстановки-проверки. Подставил две или три простейших функции, вижу — получил ответ,
так и пишу в решении: проверим что данная функция удовлетворяет уравнению, проверим,
что выполнены условия теоремы существования и единственности. Вполне строгое решение,
даже самому строгому проверяющему не к чему придраться.

На апелляции вижу, что за эту задачу у меня стоит далеко не полный балл.
Беру свою работу, но в ней по этому поводу ничего не отмечено. Вдруг какой-то человек (позднее
оказалось, что это был заведующий кафедрой математики ВИТУ) спрашивает меня: что я собираюсь
апеллировать? Я отвечаю. Он начинает со мной спорить, что то, что я написал — это не решение,
а решением должен быть некий набор действий, показывающий, как это решение получилось
(полученный, очевидно, при помощи синтаксической процедуры).
В конце концов, ему предложили пример: есть поле, на котором закопан клад, который надо найти.
Один человек перекопал всё поле и нашёл клад, а другой просто угадал, где надо копать,
и сразу выкопал клад. Кто из них решил задачу (нашёл клад)? Заведующий кафедрой математики сказал,
что только тот, кто перекопал всё поле.

Но это, конечно, было не самым интересным. Через некоторое время у меня началась
собственно апелляция, которую проводил председатель жюри профессор
матмеха Н. А. Широков, который отбирал задачи. После некоторого спора он в конце концов выдал мне следующую фразу
(воспроизвожу не дословно, но близко к оригиналу и без потери смысла):
«Возьмите любой учебник дифференциальных уравнений, там есть набор стандартных
подстановок, их-то и надо использовать при решении таких задач. При решении диффуров
вы должны продемонстрировать ваше владение этим набором стандартных подстановок, а не умение решать задачи.».
Это был для меня сильнейший деморализующий удар, я так и не нашёлся, что можно на это возразить,
так и ушёл с неполным баллом (хотя выиграл олимпиаду).
А вот другой человек получил полный балл, применив пару подстановок,
даже не соизволив пояснить, почему его решение единственно (что было сделано у меня).

Математика делится на содержательную и синтаксическую. Представителями синтаксической
математики являются подавляющее большинство учителей школ, всевозможные репетиторы,
заведующий кафедрой математики ВИТУ, а также профессор матмеха Н. А. Широков (он, кстати, там заведует
кафедрой матанализа).
Содержательную математику пока ещё можно изучать в физматклубе
и на тех спецкурсах матмеха, которые проходят в ПОМИ (почему-то именно они оказываются
наиболее содержательными (простите за каламбур) из всех спецкурсов).
Не путайте содержательную математику с синтаксической!

На этом позвольте мне завершить мой немного затянувшийся пост.
Кстати, вы не забыли про challenge?

Обновление: В качестве ответа на один из комментариев
формулирую своё мнение относительно преподавания математики в начальной школе.

Я думаю, что в начальной школе не надо учить действиям в столбик, а даже если и надо, то далеко не сразу.
Сначала надо разъяснить концепцию натурального числа (можно иллюстрировать её на примере набора яблок).
После этого объяснить смысл таких операций, как сложение и умножение
(например, два ряда яблок выстроили вместе — это сложение, выстроили прямоугольник из яблок — это умножение).
При этом должны объясняться, и, в некотором смысле, доказываться простейшие свойства этих действий
(сложение коммутативно — переставили два ряда яблок, умножение ассоциативно — вертим параллелепипед из яблок, и так далее).
Дальше можно изучать либо целые числа, либо более сложные действия над натуральными, вроде деления с остатком.
Опять же, в наглядной интерпретации — целые числа как кредит и долг, деление с остатком как расположение яблок в ряды, и так далее.
Всем свойствам, которые используются, обязательно должны даваться наглядные доказательства.
Ученики тоже должны решать несложные задачи теоретического плана вместе с доказательствами такого рода.
И, несомненно, весь этот материал можно иллюстрировать на числовых примерах, вроде 2+5=7, 3*3=9, 8/3=2+2/3.
Дальше можно изучать свойства остатка от деления, опять же, с наглядными доказательствами.
После чего можно рассказать о позиционной системе счисления, вместе с доказательствами, при этом следует попытаться сделать
так, чтобы ученики сами придумали алгоритм сложения в столбик и доказали его правильность.
Дроби опять же можно иллюстрировать на яблоках (отрицательные доли — как яблоки которые берут в кредит и дают в долг).
При этом разумно сделать так, чтобы школьники сами вывели правило сложения дробей.
Так можно изучать натуральные, целые и рациональные числа, что и составляет сегодня курс начальной школы по математике.
При этом буквенные обозначения, на мой взгляд, следует вводить в самом начале. Обосновать это очень легко:
при записи задач у нас часто повторяются словосочетания, обозначающие количество яблок у разных людей.
Мы начинаем сокращать эти словосочетания и в конце концов сокращаем их до одной буквы.
Вот и всё.